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Ableitung (Regeln 1 )
 

  
 
 
Berechnung der Ableitung an einem Beispiel
Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=x².

  Die Ableitung kann man nun mittels der Differenzenquotienten bestimmen.
Zunächst setzt man die vorgegebene Funktionsvorschrift in den Term ein.
Formt man den Zähler nach der 3. Binomischen Formel um,...
... dann kann man kürzen.
Wenn nun x gegen xo strebt, ist der Grenzwert von x=xo.
Die Ableitung der Funktion f mit f(x)=x² an der Stelle xo ist also 2xo.
Da f(x)=x2 auf D(f) differenzierbar ist, gilt: f'(x)=2x.

 
  
Bemerkung
Beobachte zunächst die Zusammenhänge der Funktion f(x)=x2 und ihrer Ableitung f'(x)=2x:

Die Tangente an der Normalparabel f(x)=x2 ist

  • monoton fallend  für x<0
  • konstant für  x=0
  • monoton steigend  für x>0.

Also ist

  • f'(x) < 0  für x<0
  • f'(x) = 0  für x=0
  • f'(x) > 0  für x>0.

Da der Betrag der Steigung der Tangente zum Urprung hin kleiner wird, ist auch der Betrag der Ableitung zum Ursprung hin kleiner.

Welche Beobachtungen ergeben sich analog bei

  • f(x) = (-1)·x2
  • f(x) = x2+2  
     
  • f(x) = x3
  • f(x) = x
  • f(x) = -1.2
     
  • f(x) = x3+2·x3
 Java Applet nicht darstellbar
 
Übung

Dafür braucht man wohl Papier und Stift.
Bestimme die Ableitungen der Funktionen!
f(x)=3·x² f'(x)=2x³
f'(x)=6x
f'(x)=2x		 g(x)=3x g'(x)=0
g'(x)=3
g'(x)=3x
h(x)=8·x³ h'(x)=8x²
h'(x)=8x
h'(x)=24x²		 i(x)=20 i'(x)=0
i'(x)=20
i'(x)=20x

 
Zugegeben: Das Ableiten mittels des Differenzenquotienten ist mühsam und dauert viel zu lange.
Aber es geht auch schnell und einfach mit dieser Faustregel für Potenzfunktionen:
einfache Faustregel
für Potenzfunktionen
Beim Ableiten der Funktion f wird der Funktionsterm zunächst übernommen.
Der Exponent der Funktionsvariablen x wird zum (weiteren) Faktor.
Dieser Exponent wird schließlich um 1 reduziert.
Anmerkung
Diese Faustregel umfasst die Potenzregel, die Konstantenregel und die Faktorregel.

 
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