MathePrisma, Differentialrechnung


		Ableitung (Regeln²)

Eigentlich ist das ja schon wieder Thema für ein eigenes Modul...

Manchmal sehen die Funktionsterme etwas komplizierter aus. Dann kommt man mit der "Faustregel" allein nicht weiter.

Drei Beispiele:

h(x) = 2x³+7x (Summe zweier Potenzen)

h(x) = (x⁴-5)·(2x³-5x) (Produkt und Summe kombiniert)

h(x) = (2x³+7x)² (Verkettete Funktionen)

Um derartige Funktionen ableiten zu können, gibt es die folgenden Regeln:

Übersicht
Ableitungs-
regeln

Es seien f und g differenzierbare Funktionen. Dann gilt:

Summenregel (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x)

Produktregel (f·g)'(x) = f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

Quotientenregel g(x_o)0

Kettenregel (g ° f)'(x) = g(f(x)) = g'(f(x))·f'(x)

Reziprokregel f'(x)0

Hinweis

Hier gibt es die zugehörigen Sätze und Beweise.

Summenregel

Ein Beispiel zur Summenregel:

h(x) = 2x³ + 7x

= f(x) + g(x) mit f(x) = 2x³ und f'(x) = 3·2x² = 6x²

g(x) = 7x¹ g'(x) = 1·7x⁰ = 7

h'(x) = f'(x) + g'(x)

= 6x² + 7

Produktregel

Ein Beispiel zur Produktregel (und auch wieder Summenregel):

h(x) = (x⁴-5) · (2x³-5x)

= f(x) · g(x) mit f(x) = x⁴-5 und f'(x) = 4x³

g(x) = 2x³-5x g'(x) = 6x²-5

h'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

= (4x³)·(2x³-5x) + (x⁴-5)·(6x²-5)

Kettenregel

Ein Beispiel zur Kettenregel (und auch wieder Summenregel):

h(x) = (2x³+7x)²

= f(g(x)) mit f(x) = x² und f'(x) = 2x

g(x) = 2x³+7x g'(x) = 6x²+7

h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

= 2(2x³+7x) · (6x²+7)

Übersicht
weitere Ableitungen

(sin x)' = cos x	für x	Beweis
(cos x)' = -sin x	für x	Beweis
(tan x)' = 1/cos²x	für x\	Beweis
(e^x)' = e^x	für x	Beweis
(ln x)' = 1/x	für x^>0	Beweis

Beobachte die verschiedenen Ableitungsfunktionen

Java Applet nicht darstellbar

Ausblick:
höhere Ableitungen

Ist die Ableitungsfunktion f' einer Funktion f wieder differenzierbar, so kann man die zweite Ableitungsfunktion f'':=(f')' bilden. Allgemein wird die n-te Ableitung f⁽ⁿ⁾:=(f^(n-1))' rekursiv definiert.

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