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Bandornamente (Friestypen bestimmen Genau 7 Typen)
 
 
 
Grundüberlegungen
 
 Kombinatorische und geometrische Überlegungen helfen bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Bandornamentstypen.

Deckabbildungen eines Bandornaments sind die folgenden (dazu kommen die Verknüpfungen dieser Abbildungen - siehe Unterseite Mathematische Präzisierung auf S.7)

  1. Translationen in Richtung der Bandachse (T)
  2. Spiegelungen an zur Bandachse senkrecht orientierten Achsen (s|)
  3. Spiegelung an der Bandachse (s_)
  4. Gleitspiegelung an der Bandachse (g)
  5. Drehungen um 180° mit Drehzentren auf der Bandachse (d)
 
Symmetrien verknüpft
 
     Ausschnitt aus einem Band mit der Verschiebungssymmetrie T, das sich auch gleitspiegeln und an senkrechten Achsen spiegeln lässt. Dann muss es auch Drehungen erlauben.
  • Die Verknüpfung von s| mit s_ entspricht der Drehung d um den Schnittpunkt der Achsen, unabhängig von der Reihenfolge.

  • Die Gleitspiegelung g kann als Verknüpfung einer Translation T' mit der Spiegelung s_ erzeugt werden, unabhängig von der Reihenfolge.

  • T' ist eine Verschiebung wie T, aber mit der halben Verschiebungsstrecke (T' T' = T)

Daher gilt

s| g = s| s_ T' = d T' = d'

Eine halbe Verschiebung verknüpft mit der Drehung um den Schnittpunkt von horizontaler Band- und senkrechter Spiegelachse lässt also das Band wieder gleich aussehen. Diese Verknüpfung lässt sich auch durch eine reine Drehung d' mit einem verschobenen Drehpunkt ausdrücken.

 
d T' oder T' d
 
 Eine Verschiebung verknüpft mit einer Drehung (oder umgekehrt) ergibt eine Drehung mit verlagertem Drehpunkt. Der Mauszeiger zeigt es an den Bildern.

        

 
Weitere Erkenntnisse
 
  1. Jede Spiegelung neutralisiert sich bei doppelter Anwendung, z.B. s_ s_ = id (Identität)

  2. Die Drehung d lässt sich immer ersetzen durch s_ s| oder s| s_, auch wenn die Spiegelungen alleine für das jeweilige Band nicht passen.

  3. Eine Translation T verknüpft mit einer Spiegelung s| (oder umgekehrt) lässt sich durch eine andere Spiegelung s|' mit verschobener Achse ausdrücken (vgl. d T')
 
Zähle die Typen

Beim Zählen müssen die Translationen außer Acht gelassen werden, weil 
es zu viele davon gibt.
jeder Typ Translationen zulässt.
Translationen nie alleine auftreten.

Wenn man das Schema pxyz zum Zählen nutzt, gibt es für die Position x zwei Möglichkeiten, nämlich s| vorhanden oder nicht (m oder 1). Für y gibt es 3 Möglichkeiten, nämlich s_, g alleine, oder nichts davon (m, g, oder 1).

Wenn nämlich s_ vorkommt, dann ist 
g auf jeden Fall falsch.
g automatisch auch dabei.

Für die Position z gibt es wieder 2 Möglichkeiten, nämlich d vorhanden oder nicht (1 oder 2).

Demnach ergeben sich zunächst   unterschiedliche Kombinationen. Aus geometrischen Gründen können diese aber nicht alle wirklich auftreten.

Aus den Verknüpfungen von s| mit s_ und s| mit g ergibt sich immer auch 
d
g
und daher gibt es weder pmm1 noch pmg1.

p1m2 gibt es nicht, denn d verknüpft mit s_ ist 
T
g
s|
p1g2 gibt es nicht, denn d verknüpft mit g ergibt eine Spiegelung  
mit senkrechter Achse.
an der Bandachse.
pm12 gibt es nicht, denn  
d s| =s_ s| s| = s|
d s| =s_ s| s| = s_
d s_=s| s_ s_ = s_
 
Du hast  von 7 möglichen Punkten erreicht.
 
 
 
Fazit
 
 Aus einer kombinatorischen Überlegung und den Einschränkungen bei der Verknüpfung der möglichen Kongruenzabbildungen folgt:

Es gibt genau 7 Typen von Bandornamenten.