Mathe Prisma: Craps - Markoffketten


		Craps (Markoff-Ketten¹)

Markoff-Ketten

Eine interessante Variante zur Berechnung der Gesamt-Gewinnwahrscheinlichkeit beim Craps bieten die Markoff-Ketten.

Definition

Eine Markoff-Kette ist ein stochastischer Prozess, d.h. eine Folge von Zufallsversuchen, die durch verschiedene Zustände beschrieben werden.

Dabei ist die Übergangswahrscheinlichkeit p_i_j, also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von Z_j in den Zustand Z_i gewechselt wird, eindeutig festgelegt.

Zustände

Wie waren noch mal die Spielregeln?

Das Spiel Craps kann man also in fünf verschiedene Zustände Z₁, Z₂, Z₃, Z₄ und Z₅ einteilen.

Nr. 1 2 3 4 5

Zustand gewonnen 4 oder 10 5 oder 9 6 oder 8 verloren

Im Kapitel "Der erste Wurf" haben wir die Wahrscheinlichkeiten a_i, mit denen das Spiel zu Beginn in einen der fünf möglichen Zustände eintritt, berechnet:

Zustand Nr. 1 2 3 4 5

Wahrscheinlichkeit a₁=2/9 a₂=1/6 a₃=2/9 a₄=5/18 a₅=1/9

Der Anlaufvektor

Diese fassen wir nun zum sogenannten Anlaufvektor zusammen.

Nr. Zustand
Wahrsch.
nach 1. Wurf

1 gewonnen

2 4 oder 10

3 5 oder 9

4 6 oder 8

5 verloren

Gewinnst oder verlierst du häufiger?

Wir testen, ob es bei einmal Würfeln wirklich doppelt so wahrscheinlich ist zu gewinnen (2/9) wie zu verlieren (1/9). Außerdem kannst du per Augenmaß die anderen Anlaufwahrscheinlichkeiten überprüfen.

Per Knopfdruck wird einmal, fünfmal oder zwanzigmal der erste Wurf untersucht.

Die roten Balken geben die Häufigkeit der Zustände "4 oder 10", "5 oder 9" und "6 oder 8" an.
Der gelbe Balken gibt die Anzahl der gewonnen Spiele an.
Der schwarze Balken gibt die Anzahl der verlorenen Spiele an.

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