Fraktale und Chaosspiel (Chaosspiel 2 )

 

Mit einer Chaosspiel-Maschine führen wir vier grundlegende Experimente durch. In jedem Versuch wird ein anderes IFS benutzt. Alle IFS sind sehr einfach aufgebaut und bestehen aus höchstens zwei kontrahierenden affinen Abbildungen.

Beobachtung - Interpretation

 

Die Experimente sollen plausibel machen, warum kontrahierende IFS Attraktoren besitzen. Das gelingt nur, wenn man gewisse Gesichtspunkte der Beobachtung vorausschickt, Variationen nach Plan vornimmt und entsprechende Schlüsse zieht.

Darum solltest du so vorgehen:

• Lies immer vorher die Experimente-Anleitungen, die sich über die Links in der Tabelle oberhalb der Maschine einblenden lassen.
• Führe den Versuch mit der Maschine durch.
• Halte deine Erkenntnisse fest und vergleiche diese erst danach mit dem Ergebnistext, der sich ebenfalls über den zugehörigen Link öffnet.

IFS und Attraktor

Anleitungen und Ergebnisse:

	Experiment 1	Experiment 2	Experiment 3	Experiment 4
	Ergebnis 1	Ergebnis 2	Ergebnis 3	Ergebnis 4

Die Bedienung ist sehr einfach; diesmal kann man nur das Experiment und die Anzahl der Iterationen auswählen. Darüber hinaus lässt sich nur bestimmen, ob die ersten 50 Iterationsschritte angezeigt werden oder ob die Anzeige der ersten Bildpunkte unterbleibt (Startpunkte anzeigen).

Tipps: Zur Unterscheidung werden die Startpunkte etwas größer als die anderen Punkte dargestellt. Wie immer lassen sich die Fixpunkte der Transformationen mithilfe der Kringel verschieben.

 

Wir konnten beobachten, wie die Folge der Bildpunkte nach relativ wenigen Iterationen den Attraktor des IFS erreicht.

Definition 

Die Rückkopplung bis zum Erreichen des Attraktors bezeichnen wir als Voriteration. Will man nur den Attraktor sehen, blendet man die Bildpunkte der Voriteration aus.

Ziehst du die richtigen Schlüsse?

Bei kontrahierenden IFS liegen alle Bildpunkte auf dem Attraktor.

Damit eine Figur entstehen kann, die sich von einem einzigen Punkt unterscheidet, dürfen nicht alle Abbildungen des IFS denselben Fixpunkt besitzen.

Jedes kontrahierende IFS besitzt einen Attraktor.

Unabhängig vom gewählten Startpunkt spielt sich das Chaosspiel stets auf denselben Attraktor ein, sofern man die anderen Daten nicht ändert.

Die Größe eines Attraktors ist nur durch die Streckfaktoren beeinflussbar.

Hat die Bildpunktefolge den Attraktor erreicht, gehören alle Folgepunkte ebenfalls dazu.

Du hast  von 6 möglichen Punkten erreicht.

 

Der Folgeabschnitt zeigt uns einige fraktale Grundformen und klärt die Rolle der Wahrscheinlichkeiten im Chaosspiel bei der zufälligen Auswahl der affinen Abbildungen.

Seite 8/10 
 

Experiment 1 wiederholt eine bekannte Situation, nämlich die Iteration mit einer einzigen zentrischen Streckung. Wenn man nichts verändert hat, sieht man die ersten 10 Bildpunkte. Entferne die Markierung "Startpunkte anzeigen" und verändere danach auch die Anzahl der Iterationen. Wie erklärst du deine Beobachtungen?

Experiment 2 zeigt erstmals die Verwendung von zwei Abbildungen in einem IFS. Es handelt sich um zwei zentrische Streckungen mit kleinen Unterschieden. Die Bildpunkte werden farbig gekennzeichnet, je nachdem, von welcher der Abbildungen sie gerade erzeugt wurden. Führe den Versuch mit wenigen und vielen Iterationen sowie mit und ohne sichtbare Startpunkte aus. Verschiebe auch die Fixpunkte. Der Attraktor in Versuch 1 war nur ein einziger Punkt. Wie sieht jetzt der Attraktor aus?

Experiment 3 zeigt dramatische Veränderungen. Eine Linie als Attraktor wie in Versuch 2 ist nicht gerade aufregend und kann kaum als fraktale Grafik gelten. Das IFS wird nur geringfügig verändert: Eine der beiden zentrischen Streckungen wird gegen eine Drehstreckung ausgetauscht. Erhöhe die Anzahl der Iterationen und beachte nochmals die Startpunkte (ein- und ausblenden). Wie kann man die neue Qualität des Attraktors erklären?

Experiment 4 Das Ergebnis unterscheidet sich kaum von seinem Vorgänger. Lediglich der Winkel der Drehstreckung wurde vergrößert. Benutze eine hohe Zahl von Iterationen. Welchen Einfluss hat die Lage der Fixpunkte auf die Attraktorfigur?

Ergebnis 1 Die Zentrische Streckung hat einen Streckfaktor kleiner als 1, also strebt die Folge der Bildpunkte gegen den Fixpunkt. Nach wenigen Iterationen wird der Fixpunkt im Rahmen der Auflösung erreicht, so dass nur dieser allein sichtbar ist, wenn man die ersten 50 Punkte ausblendet und 80 Iterationen ausführen lässt. Wenn man die Startpunkte unterdrückt, ist bei 10 Iterationen kein einziger Punkt zu sehen.

Ergebnis 2 Der Attraktor eines IFS aus zwei kontrahierenden Zentrischen Streckungen ist eine Linie zwischen den beiden Fixpunkten. Wenn dieser Attraktor im Rahmen der Auflösung einmal erreicht ist, kann er von der Bildpunktefolge nicht mehr verlassen werden, weil beide Zentrische Streckungen den Folgepunkt in Richtung auf ihren jeweiligen Fixpunkt ziehen. Da eine Zufallsauswahl erfolgt, bewegen die Abbildungen die Folgepunkte zwischen ihren Zentren hin und her, so dass eine Linie ausgebildet wird. Mit der Zahl der Iterationen wird die Linie deutlicher. Liegt der ursprüngliche Startpunkt außerhalb des Attraktors, wird der Abstand zu einem der Fixpunkte und damit auch zu der Linie verkürzt, so dass der Attraktor nach wenigen Iterationen praktisch erreicht wird. Bei ausgeblendeten Startpunkten ist die Bildpunktefolge, die noch außerhalb der Linie liegt, unsichtbar.

Ergebnis 3 Das kontrahierende IFS aus einer Zentrischen Streckung und einer Drehstreckung bildet wieder einen Attraktor aus. Dieser spannt sich zwischen den beiden Streckzentren auf. Es entsteht jedoch keine Linie, da der drehende Anteil der Drehstreckung stets dafür sorgt, dass sich Bildpunkte drehend von der gedachten Linie entfernen. Die komplexe Struktur des Attraktors zeigt jetzt die Selbstähnlichkeitseigenschaften eines Fraktals; kleine Bereiche haben die gleiche Form wie das ganze Gebilde. An den Farben sieht man, dass Teile des Fraktals vollständig von jeweils einer der beiden Abbildungen erzeugt werden, obwohl sie zufällig abwechselnd zum Einsatz kommen. Nur wenige der ersten 50 Punkte liegen außerhalb des Attraktors.

Ergebnis 4 Wegen des größeren Drehwinkels entfernen sich einige Bildpunkte stärker von der gedachten Linie zwischen den beiden Fixpunkten. Wenn man die Fixpunkte bewegt, erkennt man aber, dass die Linie die Hauptachse des Gebildes bleibt. Wenn man diese Achse dreht, bleibt die ursprüngliche Struktur erhalten. Mit dem Abstand der Fixpunkte zueinander bestimmt man die Größe der fraktalen Grafik; ein geringerer Fixpunktabstand erzeugt also eine kleinere Figur.