Fraktale und Chaosspiel (Grundbegriffe 3 )
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Es sei  eine Funktion mit einem Definitionsbereich  und  . Mit dem Startwert  können wir eine Folge von Zahlen
 bilden, indem wir - sofern die Ergebnisse  auch zu gehören - das letzte Ergebnis immer wieder in die Funktion einsetzen:
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Einfache Rückkopplung |
In der Regeltechnik kennt man Rückkopplungssysteme, bei denen eine Ausgangsgröße auf den Systemeingang zurückgeführt wird und auf diese Weise wiederum die folgenden Ausgangsgrößen beeinflusst. Kombinieren wir beide Begriffe in einem Schaubild:
Die gesamte Anlage nennen wir kurz Rückkopplung, und einen Verarbeitungsschritt nennen wir eine Iteration. In der Schule wird manchmal die Quadratwurzel einer reellen Zahl nach dem Heron-Verfahren berechnet. Die Iterationsformel dafür lautet 
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 Heron-Wurzelautomat |
Als Startwert ist  voreingestellt. Zu Beginn ist  die Konstante in der Formel, also die Zahl, deren Quadratwurzel bestimmt werden soll.
Betätige den Knopf "Iteration" und beobachte, was passiert. "Reset" setzt die Maschine auf die Ausgangswerte zurück. Führe solange Iterationen aus, bis sich an den Zahlen in Ein- und Ausgang der Maschine nichts mehr ändert.
Führe weitere Experimente durch:
Wiederhole die Rückkopplung mit unterschiedlichen Startwerten. Wähle auch andere Radikanden |
| Welche Aussagen kannst du zum Verhalten der Maschine machen? | |
Mögliche Ergebnisse |
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| Das Experiment gibt Anlass, einen weiteren wichtigen Begriff herauszustellen: | |
Definition |
Eine Zahl  mit  heißt Fixpunkt der Rückkopplung, d.h. eine Iteration mit Eingangswert x führt wieder zur Ausgabe x.
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Wenn wir unsere Rückkopplungsmaschine mit positivem Startwert x und positivem Radikanden z verwenden, sind die berechneten Wurzelwerte demnach Fixpunkte der Funktion mit
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| Jetzt verlassen wir wieder die Welt der reinen Zahlen und kehren zurück zur Geometrie. | |
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usw.
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