Fraktale und Chaosspiel (Abbildungen 1 )
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Zuletzt war der Begriff Fixpunkt aufgetreten, obwohl es sich nur um eine Zahl handelte. Anstelle von Zahlen benutzen wir jetzt "echte" Punkte der Ebene. Die Funktionen  von vorhin sind nun bestimmte zweidimensionale geometrische Abbildungen, auch Transformationen genannt.
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 Geometrische Abbildungen |
Die gewählte Abbildung wird jeweils auf ein feststehendes Ausgangsrechteck (das "Proberechteck") angewandt. Das Ergebnis wird in derselben Zeichenebene dargestellt. Alle Abbildungen besitzen einen Fixpunkt (Zentrum des weißen Kreises bzw. des schwarzen Fadenkreuzes), der bei Anwendung der Abbildung unverändert bleibt.
Untersuche (Auswahl Transformation): Drehungen, Zentrische Streckungen, Drehstreckungen und Scherungen. Verschiebe den Fixpunkt. Verändere außerdem (falls aktiv): Streckfaktor, Drehwinkel und Scherwinkel. Tipps: Man darf auch negative Zahlen benutzen. Die Streckfaktorbeträge sollten nicht viel größer als 1.5 sein, weil man sonst das Ergebnis nicht mehr sieht. Die Eingabetaste aktualisiert das Bild.
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| Was stellst du fest? | |
Mögliche Ergebnisse |
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| Bevor es zu weiteren Aktivitäten kommt, klassifizieren wir die wichtigsten geometrischen Abbildungen und erfahren etwas über die Berechnung. | |
1. Definition |
Sei
 eine Matrix mit reellen Zahlen und sei
 ein fester Vektor der Ebene. Jede Abbildung mit
 heißt affine Abbildung der Ebene.
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Definitionsmenge ist die Menge aller Ortsvektoren
 der Punkte der Ebene. Der Ortsvektor
eines Punktes  ist die Verschiebung, die vom Ursprungspunkt  zum Punkt führt. Man rechnet also einfach mit den Koordinaten von .
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2. Definition |
Eine affine Abbildung heißt umkehrbar, wenn für ihre Determinante
 gilt.
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| Umkehrbare affine Abbildungen sind bei der Anwendung auf Figuren parallelenerhaltend und teilverhältnistreu (treu = erhaltend). | |
3. Definition |
Ähnlichkeitsabbildungen ist der Name für Transformationen, die eine Matrix der Form
 besitzen. Dabei ist  der Drehwinkel und  eine reelle Zahl.
Gilt darüber hinaus |
| Ähnlichkeitsabbildungen sind bei der Anwendung auf Figuren winkeltreu. Kongruenzabbildungen sind winkeltreu und streckentreu, was letztlich bedeutet, dass die Bildfigur deckungsgleich zur Ausgangsfigur ist. Insbesondere von den Ähnlichkeitsabbildungen werden wir im nächsten Kapitel ausgiebigen Gebrauch machen. | |
| Ein paar Kontrollfragen schließen diesen Abschnitt ab: | |
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| Wir bleiben geometrisch, aber im nächsten Abschnitt kommt die Rückkopplung wieder zum Einsatz. | |
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, ist die Ähnlichkeitsabbildung sogar eine Kongruenzabbildung.
