Fraktale und Chaosspiel (Abbildungen 2 )

 

Wir haben zuvor eine Rückkopplungsmaschine für reelle Zahlen kennen gelernt. Damit ließen sich in unserem Beispiel Quadratwurzeln berechnen. Danach wurden affine Abbildungen in der Ebene vorgestellt.

Im nächsten Schritt werden wir nun affine Abbildungen und die Rückkopplungsmaschine kombinieren. Die Punkte der Ebene, beim Rechnen durch ihren Ortsvektor vertreten, bilden dabei das Datenmaterial.

Geometrische Rück-
kopplungsmaschine 

Bedingungen für die Kombination 

	Welche Abbildungen wählen wir diesmal für ?	Zulässig sind prinzipiell alle affinen Abbildungen, die wir auf der vorigen Seite eingeführt haben. Wir beschränken uns hier aber auf Zentrische Streckungen und Drehstreckungen.
	Welcher Startwert wird benutzt?	Zum Start wählen wir einen beliebigen Punkt der Ebene.
	Worauf wenden wir die Abbildung an?	Die Transformation wenden wir nicht auf ein Ausgangsrechteck, sondern bei jedem Schritt nur auf einen einzigen Punkt an.
	Wie oft wenden wir die Abbildung an?	Wir halten die Rechnung nicht nach einer Transformation an, sondern koppeln zurück: Wir übertragen das Ergebnis auf den Eingang der Maschine und lassen erneut dieselbe geometrische Operation ausführen.
	Was erhalten wir schließlich?	Nach einigen Iterationen erhalten wir eine Folge von Bildpunkten, die wir als ein einfaches Bild interpretieren.

 

Das probieren wir jetzt praktisch aus:

Iteration Punkt für Punkt

Klicke zu Beginn auf "Start". Im sichtbaren Bereich erscheint ein zufällig gewählter roter Startpunkt. Der verschiebbare weiße Kreis markiert wieder den Fixpunkt der geometrischen Abbildung. Mit dem Knopf "Iteration" wird die Transformation ausgeführt. Das Ergebnis ist ein weißer Punkt. Fahre mit den Iterationen fort und beobachte die Folge der Bildpunkte. Experimentiere mit den veränderbaren Einstellungen.

Tipps: Die Streckfaktorbeträge sollten nicht größer als ca. 1.5 sein (negativ ist auch erlaubt). Bei Faktorbeträgen größer als 1 drückt man den Startknopf so oft, bis der rote Startpunkt in der Nähe des zentral gelegenen Fixpunktes liegt, damit die Ergebnisse der folgenden Iterationen in der Zeichenfläche liegen. Zur Beschleunigung des Verfahrens gibt es den Schalter "5 Iterationen".

Forschungsauftrag 

Beschreibe das Verhalten der Bildpunktefolgen für die folgenden vier Fälle:

• Zentrische Streckung mit Streckfaktorbeträgen kleiner als 1
• Zentrische Streckung mit Streckfaktorbeträgen größer als 1
• Drehstreckung mit Streckfaktorbeträgen kleiner als 1
• Drehstreckung mit Streckfaktorbeträgen größer als 1

Mögliche Ergebnisse 

 

Eine Eigenschaft macht die Transformationen für die weitere Anwendung besonders interessant:

Definition 

Eine geometrische Abbildung heißt kontrahierend (zusammenziehend), wenn der Abstand je zweier Bildpunkte

und

stets kleiner ist als der Abstand der Ausgangspunkte

und

.

 

Die oben verwendeten Abbildungen Zentrische Streckung und Drehstreckung sind genau dann kontrahierend, wenn Streckfaktorbeträge kleiner als 1 festgelegt werden. Dazu gibt es noch abschließende Verständnisfragen:

1. Welcher Streckfaktor muss bei der Zentrischen Streckung eingesetzt werden, damit sich der Abstand der Bildpunkte zum Fixpunkt von Iteration zu Iteration halbiert? Antwort:  

2. Sorgt der Streckfaktor bei einer Zentrischen Streckung für eine kontrahierende Abbildung?

3. Sind alle umkehrbar affinen Abbildungen kontrahierende Abbildungen?

Du hast  von 3 möglichen Punkten erreicht.

 

Die Bildpunktefolgen wurden erzeugt, indem wir eine Rückkopplungsmaschine mit affinen Abbildungen kombiniert haben. Dabei sind jedoch keine ansprechenden Bilder herausgekommen und nach Fraktalen sehen sie auch nicht aus.

Eine Erweiterung der Maschine bringt uns endlich zu den fraktalen Grafiken.

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