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Kombinatorik (Urnenmodelle)
 

  
 
  
Wozu "Urnen-
modelle" ?
 In der Kombinatorik werden oft modellhaft Urnen betrachtet, aus denen nach einer bestimmten Vorschrift Kugeln gezogen werden.
Der Grund dafür: Viele Zufallsexperimente lassen sich als Ziehung von k Kugeln aus einer Urne darstellen, die insgesamt n Kugeln enthält.
mit Zurücklegen

mit Beachtung der Reihenfolge

Beispiel : "Wurf mit zwei Würfeln"

Sie können dieses Zufallsexperiment auch so mit einer Urne simulieren:



Eine Urne enthält sechs Kugeln, die mit den Ziffern "1" bis "6" beschriftet sind.
Sie
  • ziehen zufällig eine Kugel und notieren das Ergebnis (z.B. "4"),
  • legen die Kugel in die Urne zurück und schütteln die Urne gut durch,
  • ziehen wieder eine Kugel und notieren das Ergebnis
    (das könnte z.B. wieder die "4" sein, da Sie diese Kugel nach dem ersten Zug zurückgelegt haben).

Hier ist die Reihenfolge der gezogenen Kugeln wichtig.
Es ist n=6 (sechs Kugeln in der Urne) und k=2 (zweimaliges Ziehen).
ohne Zurücklegen

ohne Beachtung der Reihenfolge

Beispiel: "Ziehen von 10 Karten aus einem 32er Skatspiel"




Hier sind die 32 Kugeln in der Urne mit den Namen der Spielkarten beschriftet (z.B. "Karo-Bube").
Sie
  • ziehen zehn Kugeln aus der Urne,
  • legen aber die Kugeln nach jedem Zug nicht zurück. (Haben Sie beim Skatspiel einmal z.B. die Karte "Karo-Bube" gezogen, so können Sie diese nicht noch einmal ziehen.)
Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen wurden, ist Ihnen hier egal. (Sie interessiert nur, welche Karten Sie überhaupt gezogen haben.)
Es ist n=32 (32 Kugeln in der Urne) und k=10 (10 Mal Ziehen).

 

Die vier Grundaufgaben der Kombinatorik
Es gibt insgesamt vier verschiedene Urnenexperimente, je nachdem,
  • ob die Kugeln zurückgelegt werden
  • oder die Kugeln nicht zurückgelegt werden
  • und ob die Reihenfolge beachtet wird
  • oder ob die Reihenfolge nicht beachtet wird.
Dem entsprechen die vier kombinatorischen Grundaufgaben.
Zwei davon haben wir schon auf dieser Seite kennengelernt (Wurf mit zwei Würfeln, Ziehen von 10 Karten aus einem 32er Kartenspiel).
 

Diese vier Möglichkeiten untersuchen wir jetzt systematisch. Den Anfang macht ...
 
  
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