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Kombinatorik (Kombinatorische Grundaufgaben 4 )
 

  
 
  
 
  
Ziehen
MIT
Zurücklegen,
OHNE
Berücksichtigung der Reihenfolge
 Wie sieht das Baumdiagramm für zweimaliges Ziehen aus einer Urne mit vier Kugeln aus,
  • bei der zwar die Reihenfolge unwichtig ist,

  • die Kugel aber nach dem Zug zurückgelegt wird?

 

Finden Sie es wieder selbst heraus:

 
  
Erstellen Sie das entsprechende Baumdiagramm!

Ziehen mit Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
n=4, k=2
 
  
 
 Die allgemeine Formel im Fall "mit Wiederholung, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge" erhält man über folgende Überlegung:
 
  
Betrachte:
Auswahl von k Elementen aus Menge mit k+n-1 Elementen
ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge

Wir betrachten n + k-1 Kästchen (an Stelle von Kugeln).

Von diesen Kästchen wählen wir k-Stück aus.
Hierbei spielt die Reihenfolge, in der die Kästchen gewählt werden, keine Rolle und es kann kein Kästchen doppelt gewählt werden.
Damit beträgt die Anzahl der Möglichkeiten diese k Kästchen zu wählen
.
 
  
Entspricht:
Auswahl von k Elementen aus Menge mit n Elementen
mit Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge
Wir zeigen nun, dass diese Aufgabe dem Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit Wiederholung ohne Beachtung der Reihenfolge entspricht:

Die n-1 nicht gewählten Felder streichen wir
und nummerieren sie von 1 bis n-1.

In die k gewählten Kästchen tragen wir die k Kugeln ein.

Die Kugeln vor dem i-ten gestrichenen Feld entsprechen der i-ten Kugel.

Damit wurden k Kugeln aus einer Menge von n verschiedenen Kugeln ausgewählt, wobei die Kugeln auch mehrfach gezogen werden konnten.

 
  
Verallgemeinerung
 Für die Auswahl
  • von k Elementen
  • aus einer Menge mit n Elementen
  • mit Wiederholung
  • und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
gibt es

Möglichkeiten.

 

 
 Beispiel für Auswahl mit Wiederholung, ohne Beachtung der Reihenfolge:
 
  
Frage
 Bei einem Sonderangebot kann man sich eine Kiste (zwölf Flaschen) aus drei verschiedenen Getränkesorten beliebig zusammenstellen. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?
Es gibt:  Möglichkeiten
 
  
Warum hier "mit Wiederholung, Reihenfolge unwichtig"?
  • "Mit Wiederholung": Sie können von einer Getränkesorte mehr als eine Flasche nehmen.
  • "Reihenfolge unwichtig": Es interessiert nur, wieviele Flaschen Sie von welcher Sorte ausgewählt haben. In welcher Reihenfolge diese danach in Ihrer Kiste liegen, ist bei unserer Fragestellung unwichtig.
n=3, k=12
Sie wählen hier zwölf Flaschen aus drei Getränkesorten aus (mit Wiederholung),
d.h. n=3 und k=12.
In obige Formel eingesetzt, ergibt sich die gesuchte Lösung.
 
  
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