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Motivation |
Betrachten wir ein kubisches Polynom
Sind
die Koeffizienten
 gegeben, so ist dadurch der Graph
des Polynoms bestimmt. Können
wir auch umgekehrt die Koeffizienten des
Polynoms bestimmen, wenn uns nur der Graph gegeben ist?
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Herleitung |
Hier ist eine  statische Version.
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Allgemeiner Fall |
Für ein beliebiges Polynom n-ten Grades
und eine Ableitungsordnung
 gilt
und deshalb ist
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Man kann diese Formeln auch benutzen, um zu vorgegebenen Werten von
 ,
, das dadurch eindeutig bestimmte Polynom
vom Grad  zu
finden.
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In dieser
Demonstration
sind die vier
Punkte beweglich auf der y-Achse und geben die Werte  ,  ,
 und  an. Außerdem sind der Graph des Polynoms dritten
Grades mit diesen vorgegebenen Ableitungswerten sowie die Graphen seiner
Ableitungen bis zur Ordnung 3 dargestellt. Die Graphen gehen natürlich
durch die zugehörigen Punkte.
Beobachtungen:
- Bewegt man den blauen Punkt (), so verschiebt sich nur der
Graph des Polynoms. Die anderen Graphen bleiben unbeeinflußt.
- Verschiebt man den roten Punkt (), so verschiebt sich der
Graph von
 und die Steigung des blauen Graphen bei 0
ändert sich.
- Verschiebt man den grünen Punkt, so wird die grüne Kurve
verschoben, die rote Kurve ändert bei 0 ihre Steigung und die
blaue Kurve ändert sich erst in einiger Entfernung von 0. Ihre
Steigung bei 0 bleibt unverändert.
- Bewegt man den rosa Punkt, so ändert sich die Steigung der grünen
Kurve und die rote Kurve ändert ihre Form, aber nicht die Steigung
bei 0. Die blaue Kurve ändert sich bei 0 noch viel weniger, sondern
erst in ziemlicher Entfernung von 0.
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