Kurven (Das Taylor-Polynom 3 )

Erstes Taylor-Polynom	Man erkennt an den Beispielen, daß der Graph des ersten Taylor-Polynoms die Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt ist. Das gilt allgemein, denn das erste Taylor-Polynom ist also ist der Graph von eine Gerade durch den Punkt mit Steigung
Zweites Taylor-Polynom	Das zweite Taylor-Polynom lautet Sein Graph ist eine Parabel durch den Punkt . Wegen berührt die Parabel den Graphen von in diesem Punkt. Wir wollen jetzt abschätzen. Dazu fixieren wir nahe 0 und berechnen das folgende Integral durch zweimalige partielle Integration: Mit dieser Integraldarstellung des Fehlerterms kann man die Geschwindigkeit abschätzen, mit der gegen 0 konvergiert, wenn x gegen 0 geht. Ist die dritte Ableitung bei 0 durch beschränkt, so gilt Würde man das Gleiche für machen, so ergäbe sich wenn eine Schranke für ist. Da nahe 0 viel flacher verläuft als ( Demonstration ), schmiegt sich das zweite Taylor-Polynom viel besser an als das erste Taylor-Polynom .
Berühr-Ordnung	Man sagt, daß sich die Funktionen und im Punkt von erster Ordnung berühren, da ihre 0-ten und 1-ten Ableitungen in 0 übereinstimmen. Ferner berühren sich und in von zweiter Ordnung, da ihre 0-ten, 1-ten und 2-ten Ableitungen übereinstimmen. Je höher die Berührordnung ist, desto besser wird im Allgemeinen die Approximation der einen Funktion durch die andere nahe des Berührpunkts sein.

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