Kurven (Das Taylor-Polynom Der Satz von Taylor )

	Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Satz	Die Funktion sei auf dem Intervall -mal stetig differenzierbar. Dann gilt
Beweis	durch vollständige Induktion. Für lautet die Behauptung Das ist aber gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Sei jetzt und die Behauptung dafür schon bewiesen. Wir wenden auf das Integral partielle Integration an und erhalten Einsetzen in die Behauptung für ergibt die Behauptung für .
Ein Beispiel	Wir wenden den Satz auf an. Ersetzt man durch und setzt , , so ergibt sich da alle Ableitungen der Exponentialfunktion wieder die Exponentialfunktion ergeben. Für ist die Exponentialfunktion auf dem Intervall durch beschränkt, da sie monoton wächst. Für is eine obere Schranke auf dem Intervall . In jedem Fall hat der Betrag des Integranden die obere Schranke und damit gilt Die Folge der Zahlen konvergiert gegen 0. Denn es gilt für hinreichend großes , etwa für . Damit ist Da die links stehenden Zahlen alle sind und die rechts stehenden gegen 0 konvergieren, ist . Damit ist aber auch .