Kurven (Der Krümmungskreis Radius und Mittelpunkt )

Satz	Die Funktion sei auf dem Intervall zweimal stetig differenzierbar. Für die Stelle gelte . Läßt man zwei Punkte auf dem Graphen von gegen den Punkt konvergieren, so konvergiert der durch diese drei Punkte bestimmte Kreis gegen den Krümmungskreis an den Graphen von in . Dieser hat den Radius und den Mittelpunkt mit Der Mittelpunkt liegt auf der Normalen auf den Graphen von in und auf der Seite der Tangente, zu der sich der Graph hin krümmt. Der Krümmungskreis berührt den Graphen in .
Beweis	Die Konvergenzaussage soll nicht bewiesen werden. Wir wollen hier nur unter Voraussetzung der Konvergenz den Radius und Mittelpunkt des Krümmungskreises berechnen. Seien also und zwei Punkte auf dem Graphen, die gegen konvergieren. Sei der Mittelpunkt und der Radius des Kreises durch und . Wir betrachten die Funktion Da und vom Kreismittelpunkt den Abstand haben, gilt Schreibt man diese drei Gleichungen aus, so kann man sie nach , und lösen. Der Grenzübergang und ist dann aber keineswegs einfach durchzuführen. Weil wir aber die Konvergenz des Mittelpunktes und Radius schon vorausgesetzt haben, können wir einfacher vorgehen. Nach dem Satz von Rolle gibt es Stellen und zwischen und sowie und mit Eine erneute Anwendung des Satzes von Rolle liefert die Existenz einer Stelle zwischen und mit Ausgeschrieben lauten die jeweils ersten Gleichungen in (3), (4) und (5) Läßt man und gegen streben, so gilt und und nach Annahme , sowie . Die drei Gleichungen gehen damit über in Die Formel für ergibt sich durch Auflösen der letzten Gleichung. Aus der mittleren Gleichung ergibt sich , wenn man das Ergebnis für einsetzt. Schließlich erhält man aus der ersten Gleichung. Der Vektor weist in Richtung der Tangente an den Graphen im Punkt . Der Vektor weist vom Punkt zum Punkt . Das Skalarprodukt beider Vektoren ist Also liegt auf der Normalen auf den Graphen in . Da der Krümmungskreis außerdem durch geht, berührt er automatisch den Graphen in . Ist , so hat gemäß (6) der Vektor von zum Mittelpunkt des Krümmungskreises die gleiche Richtung wie der Vektor Das ist aber der nach oben weisende Normalenvektor auf den Graphen in . Ferner ist wegen der Graph in einer Umgebung von konvex, d.h. er krümmt sich nach oben. Ist , so weist der Vektor von zum Krümmungskreismittelpunkt in entgegengesetzte Richtung wie der Normalenvektor, und der Graph krümmt sich nach unten.