Kurven (Die erste Ableitung Monotonie-Kriterium )

Monotonie-Kriterium	Die Funktion sei auf dem Intervall differenzierbar. Sie ist genau dann auf monoton wachsend, wenn auf gilt. Die Funktion ist genau dann auf monoton fallend, wenn auf gilt.
Beweis	Nur für den Fall des monotonen Wachstums. Sei monoton wachsend und . Falls nicht der rechte Endpunkt von ist, so wähle man so klein, daß ist. Für die Steigung der Sekante durch die Punkte und gilt dann stets Läßt man gegen 0 konvergieren, so konvergiert die linke Seite gegen . Die Ungleichung bleibt auch für den Grenzwert erhalten, also ist . Falls der rechte Endpunkt von ist, so wähle man negativ und lasse es gegen 0 konvergieren.
	In dieser Demonstration sind der rote und grüne Punkt beweglich. Die Sekante (grün) hat immer nicht-negative Steigung, da die Funktion monoton wächst. Bewegt man den grünen Punkt auf den roten Punkt zu, so nähert sich die Sekante der Tangente an. Diese hat also auch nicht-negative Steigung.
	Jetzt sei auf . Um das monotone Wachstum von nachzuweisen, wählen wir mit . Wir wollen zeigen, daß die Steigung der Sekante durch die Punkte und nicht-negativ ist, aber wir wissen nur, daß die Tangenten an den Graph von nicht-negative Steigung haben. Eine Verbindung stellt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung her. Er besagt, daß es eine Stelle gibt, sodaß die Tangente in und die Sekante die gleiche Steigung haben, d.h. Da der Nenner positiv ist, muß der Zähler sein, d.h. .
	In dieser Demonstration sind die beiden grünen Punkte beweglich. Unabhängig von ihrer Lage wird der rote Punkt auf dem Graphen stets so berechnet, daß die zugehörige Tangente (rot) parallel zur Sekante (grün) ist. Da die Tangente immer nicht-negative Steigung hat, gilt das Gleiche für die Sekante.