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Rekursive Folgen (Fibonacci-Zahlen Goldener Schnitt )
 

  
 
 
Was kann man sich darunter vorstellen?
 Der Goldene Schnitt ist ein Zahlenverhätnis, das eine besondere Rolle unter den Proportionen spielt:

Im Falle des Goldenen Schnitts entspricht bei einer Strecke

das Verhältnis  der Gesamtstrecke zur Teilstrecke
 
dem Verhältnis der Teilstrecke zur Reststrecke.
So berechnet man den Goldenen Schnitt:
 Geht man davon aus, dass die Gesamtstrecke die Länge 1 hat, dann ist die Länge x der Teilstrecke die positive Lösung der Gleichung

1 : a   =   a : (1 - a)
<=>  1 - a   =   a2
<=>   a2 + a - 1   =   0

Man bezeichnet diese als

Geht man davon aus, dass die Teilstrecke die Länge 1 hat, dann ist die Länge b der Gesamtstrecke die positive Lösung der Gleichung

b : 1   =   1 : (b - 1)
<=>  b2 - b   =   1
<=>   b2 - b - 1   =   0

Diese positive Lösung  wird Goldener Schnitt genannt:

 
Und nochmal Fibonacci-Zahlen:
 Betrachtet man die Folge

Vorschrift    für n>1

so nähert sich diese mit größer werdenem n immer mehr an. (Beweis).
Entsprechend nähert sich die Folge

Vorschrift    für n>1

mit größer werdenem n immer mehr an. (Beweis). Man kann den Wert von immer besser annähern durch die Näherungsbrüche

n 1 2 3 4 5 6 7
1 0.5 0.6666... 0.6 0.625 0.6153... 0.6190...

Und nochmal Sonnenblumen-
kerne:
 Der Winkel zwischen den Kernen beträgt jeweils  · 360° = 222,492...° oder angenähert
 · 360° = 216°,  · 360° = 225°,  · 360° = 221,538...°, usw.
Dabei lässt sich an den Näherungsbrüchen ablesen, dass
  • nach 5 Kernen 3 Runden entstanden sind
    (mit einer Abweichung von 5 · (222,492°-216°) = 32,46°)
  • nach 8 Kernen 5 Runden entstanden sind
    (mit einer Abweichung von 8 · (222,492°-225°) = -20,064°)
  • nach 13 Kernen 8 Runden entstanden sind
    (mit einer Abweichung von 13 · (222,492°-221,538°) = 12,402°)
  • usw.

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