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Beweis

Wir leiten den Satz nur für $c=0$ her. Nach (2) wissen wir, daß

$\begin{equation} \label{201} f(x) = T(x) + R(x) \end{equation}$

(8)

gilt, wobei $T(x)$ das Taylorpolynom zweiten Grades von $f(x)$ in $0$ ist. Für den Restterm gilt

$\begin{equation} \label{202} |R(x)| \le C|x|^3 \end{equation}$

(9)

mit einer Konstanten $C>0$ . Ist $g(x)$ eine beliebige Funktion auf $[a,b]$ , so bezeichnen wir mit $I_hg(x)$ das Interpolationspolynom vom Grad $\le 2$ durch die Punkte $(-h,g(-h))$ , $(0,g(0))$ und $(h,g(h))$ .

Aus (7) und (8) folgt, daß das Interpolationspolynom von $f(x)$ die Summe der Interpolationspolynome von $T(x)$ und $R(x)$ ist, d.h.

$\begin{equation*} I_hf(x) = I_hT(x) + I_hR(x) . \end{equation*}$

Sowohl $I_hT(x)$ als auch $T(x)$ sind Polynome vom Grad $\le 2$ durch die Punkte $(-h,T(-h))$ , $(0,T(0))$ und $(h,T(h))$ . Wegen der Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms ist also $I_hT(x) = T(x)$ .

Ferner folgt aus (7) und (9)

$\begin{align*} |I_hR(x)| \le& |R(0)|\frac{|x+h|\cdot|x-h|}{h^2} + |R(-h)|\frac{|x-0|\cdot|x-h|}{h\cdot2h} \\ & + |R(h)|\frac{|x+h|\cdot|x-0|}{2h\cdot h} \le \frac{C}{2} |x|h(|x-h|+|x+h|) . \end{align*}$

Weil $x$ beschränkt ist, folgt daraus

$\begin{equation*} |I_hf(x)-T(x)| = |I_hR(x)| \le C' h \end{equation*}$

mit einer Konstanten $C'>0$ . Für $h\to0$ konvergiert also $I_hf(x)$ gegen $T(x)$ , und zwar gleichmäßig in $x$ .