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Pi (Approximation 1)
 

 
 
Approximation = Annäherung
 
Die Kreisfläche lässt sich durch Rechtecke approximieren, welche sich entweder innerhalb der Kreisfläche befinden oder welche mit ihrer Fläche die Kreisfläche vollständig überdecken.

Wir wollen dies anhand der Viertelkreisfläche mit Radius 1 zeigen.

Befinden sich die Rechtecke innerhalb der Viertelkreisfläche, so bezeichnet man die Summe der Rechtecksflächen als Untersumme.
 







Untersummen

 
Als Anzahl der Rechtecke kann eine ganze Zahl zwischen 1 und 100 Millionen eingegeben werden. Je nach Rechengeschwindigkeit des Computers kann die Berechnung einige Zeit in Anspruch nehmen.
 

 
Überdeckt die Fläche der Rechtecke die Viertelkreisfläche, so bezeichnet man die Summe der Rechtecksflächen als Obersumme.
 








Obersummen
 
Als Anzahl der Rechtecke kann eine ganze Zahl zwischen 1 und 100 Millionen eingegeben werden. Je nach Rechengeschwindigkeit des Computers kann die Berechnung einige Zeit in Anspruch nehmen.
 






Mitgestaltung: Eugen Hellmann, Michael Tepel
 
  • Die Koordinaten der Rechtecke erhält man durch die Funktion \(f\) mit
    \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\)
    indem man die jeweiligen x-Werte zwischen 0 und 1 einsetzt und die Rechtecksflächen berechnet.

  • Die Fläche der Rechtecke multipliziert mit 4 ergibt dann das geschätzte \(\pi\), da der Einheitskreis den Radius 1 hat.

  • Die Untersumme ist stets kleiner als die Viertelkreisfläche, ebenso wie die Obersumme stets größer als die Viertelkreisfläche ist. Der Mittelwert aus Obersumme und Untersumme ist eine gute Abschätzung der Kreisfläche.

Da der Radius des Kreises 1 ist, entspricht der approximierte Flächeninhalt einer Näherung für \(\pi\).
 
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