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Pi (Approximation 2)
 

 
 
Approximation durch Vielecke
 
Statt der Approximation mit Rechtecken kann man auch die Approximation durch andere Vielecke betrachten.

Dazu muss man dann allerdings die Funktionen Sinus und Cosinus verwenden.

Die Vorgehensweise bei 2 Dreiecken soll durch folgende Grafik dargestellt werden:

 

Winkelsätze
 
  • Für das Dreieck mit den Seiten r, b und h gelten folgende Gleichungen:

    \(\mbox{Länge von }\color{blue}{\mbox{h}} = \cos \color{green}{\mbox{a}} \cdot \mbox{Länge von }\color{green}{\mbox{r}}\) \(\mbox{Länge von }\color{red}{\mbox{b}} = \sin \color{green}{\mbox{a}} \cdot \mbox{Länge von }\color{green}{\mbox{r}}\)

  • Der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten r, b und h ergibt sich somit durch

    \(\frac{\mbox{Länge von } \color{red}{\mbox{b}} \; \cdot \; \mbox{Länge von } \color{blue}{\mbox{h}}}{2} = \frac{\cos \color{green}{\mbox{a}} \; \cdot \; \sin \color{green}{\mbox{a}} \; \cdot \; \mbox{(Länge von }\color{green}{\mbox{r}}\mbox{)}^2}{2}\)

  • Der Flächeninhalt eines roten Dreiecks entspricht damit

    \(\cos \color{green}{\mbox{a}} \; \cdot \; \sin \color{green}{\mbox{a}} \; \cdot \; (\mbox{Länge von }\color{green}{\mbox{r}})^2\)

  • Der Flächeninhalt von 2 roten Dreiecken zusammen beträgt
    \(\color{blue}{2} \cdot \cos \color{green}{\mbox{a}} \; \cdot \; \sin \color{green}{\mbox{a}} \; \cdot \; (\mbox{Länge von }\color{green}{\mbox{r}})^2\)

    Dabei ist die Größe des Winkels \(\color{green}{\mbox{a}} = \frac{90°}{2 \cdot \color{blue}{2}}\).

Daraus Folgerungen für den allgemeinen Fall zu ziehen ist nicht schwer.
  • Betrachtet man ein Vieleck mit n Dreiecken im Viertelkreis mit Radius 1, so ergibt sich als Flächeninhalt für die n Dreiecke im Viertelkreis:

    \(\color{blue}{\mbox{n}} \; \cdot \; \cos \frac{90°}{2 \color{blue}{\mbox{n}}} \; \cdot \; \sin \frac{90°}{2 \color{blue}{\mbox{n}}}\)
 
Berechnung des Inhalts der Vielecksfläche

Grafik von: Felizitas Ullrich, Christiane Karrer
 
Als Anzahl der Dreiecke kann eine ganze Zahl zwischen 1 und 100 Millionen eingegeben werden.
 
Sinus und Cosinus
 
Dabei ist aber zu beachten, dass die Berechnung der Werte der trigonometrischen Funktion selbst ebenso schwierig ist wie die Berechnung von \(\pi\).
 
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