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Pi (Approximation 3)
 

 
 




Beispiel
n=2



 
Bei dem folgenden Verfahren wird
  • mit einer natürlichen Zahl n ein quadratisches Gitter aus \((n+1)^2\) Punkten gebildet, welche alle denselben Abstand 1/n zueinander besitzen.

  • In dieses Punktequadrat ist ein Viertelkreis mit einem Radius von 1 einbeschrieben.

  • Eine Approximation für \(\pi\) ergibt sich dabei aus folgender Berechnung:

    \(\pi = \frac{4\;\cdot\; \mbox{Anzahl der }\color{blue}{\mbox{Punkte }}\mbox{im Viertelkreis (mit Rand)}}{\color{blue}{\mbox{Punkte }} \mbox{im Quadrat}}\)

  • Dabei wird der linke untere Punkt, welcher der Mittelpunkt des Kreises ist, als ΒΌ Punkt berechnet und die Punkte am linken und unteren Rand als halbe Punkte.
    Durch diese Berechnung wird berücksichtigt, dass anstelle eines ganzen Kreises ein Viertelkreis betrachtet wird.
 





Berechnung der Punkteanzahl im Viertelkreis






Arithmetische Definition von \(\pi\)

 
Für n kann eine ganze Zahl zwischen 1 und 3000 eingegeben werden. Es werden dann \((n+1)^2\) Gitterpunkte mit Abstand 1/n erzeugt. Je nach Rechengeschwindigkeit des Computers kann die Berechnung einige Zeit in Anspruch nehmen.
 
Ineffizientes Verfahren
 
Das Verfahren ist nicht besonders gut zur Berechnung von \(\pi\), da \((n+1)^2\), die Anzahl der Punkte, mit wachsendem n schnell ansteigt, die Approximation für \(\pi\) sich jedoch nur langsam verbessert.
 
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