Zur MathePrisma-Startseite
Zur Modul-Startseite  


Pi (Wie erhält man Pi? 2)
 

 
 

Die Quadratur des Kreises
 
Bei der Quadratur des Kreises geht es darum, zu einem gegebenen Kreis unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat zu konstruieren.

Von der Antike bis heute gibt es immer wieder zahlreiche ehrgeizige Amateure, die sich in das Problem verlieben und sich einreden, die Lösung gefunden zu haben. Dabei ist seit Ende des 19. Jahrhunderts bewiesen, dass die Konstruktion gar nicht möglich ist.

Entsprechend wurden für \(\pi\) auch nur Näherungen gefunden.

Für unsere Berechnungen stellen wir einen Kreis mit Radius 1 in einem Koordinatensystem dar:
 

 
 
Der Einheitskreis

 
Einen derartigen Kreis nennt man Einheitskreis.
  • Alle Punkte des Kreisumfangs haben den  euklidischen Abstand 1 vom Mittelpunkt M.
  • Mathematisch ausgedrückt erfüllen diese Punkte die Gleichung
    \(\color{blue}{x^2 + y^2 = 1}\)
  • Alle Punkte der Kreisfläche erfüllen demzufolge die Gleichung
    \(\color{blue}{x^2 + y^2 \leq 1}\)
 
Berechnung der Viertelkreisfläche

 
Dies machen wir uns für die folgenden Berechnungen zu Nutze.
  • Wir betrachten den rechten oberen Viertelkreis mit x-Werten und y-Werten zwischen 0 und 1.
  • Durch Umstellung von \(\color{blue} {x^2 + y^2 = 1}\) erhalten wir \(\color{blue} {y^2 = 1 - x^2}\).
  • Die blaue Kreislinie des oberen Viertelkreises ist damit als  Funktion \(f\) mit \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\) beschreibbar.


Mit Vielecken, Rechtecken, Punkten und dieser Funktion werden wir die Viertelkreisfläche abschätzen und damit auch \(\pi\).
 
Seite 4/10